تابع u را هارمونیک یا همساز میگویند، اگر پیوسته و دارای مشتقات جزئی مرتبه اول و دوم باشد و در معادلع لاپلاس نیز صدق کند. به عبارت دیگر، تابع هارمونیک یک تابع ریاضی است که معادله لاپلاس را ارضا میکند، که یک نوع معادله دیفرانسیل جزئی است. معادله لاپلاس بیان میکند که جمع مشتق جزئی دوم تابع نسبت به متغیرهایش برابر با صفر است. مقدار تابع هارمونیک در هر نقطه برابر با میانگین مقدار تابع در هر کره محوری متمرکز در آن نقطه است. جوابهای معادله لاپلاس یکتا هستند، به این معنا که اگر یک تابع در یک منطقه هارمونی باشد و مقادیر آن در مرز آن منطقه معلوم باشد، تابع داخل آن منطقه یکتا تعیین میشود. توابع هارمونیک اغلب پدیدههای فیزیکی مانند توزیع دما، جریان سیال یا پتانسیل الکتریک را مدل میکنند که مقدار آن در حالت تعادل یا پایدار است. توابع هارمونیک به طور منظم ظاهر میشوند و نقش اساسی در ریاضیات، فیزیک، و مهندسی ایفا میکنند. در ریاضیات و فیزیک، توابع هارمونیک در مدلسازی پدیدههایی همچون توزیع حرارت، جریان سیالات و پتانسیل الکتریک که در شرایط تعادل یا پایداری قرار دارند، بسیار کاربرد دارند همچنین این توابع از اهمیت بالایی در تحلیلهای مختلف مسائل ریاضیاتی و فیزیکی برخوردار هستند و به عنوان یک ابزار قدرتمند در مدلسازی پدیدههای پیچیده به کار میروند. در این آموزک به همراه حل مثالهای متنوع و مختلف به تعریف مفاهیم و اثبات قضیه هارمونیک بودن تابع در صورت برقرار بودن معادلات کوشی ریمان میپردازیم.
