اثبات قضیه هرون + به زبان ساده با مثال (فیلم آموزش رایگان)

با توجه به اینکه مثلث‌ها انواع مختلفی دارند، برای محاسبه مساحت هریک از مثلث‌ها از روش‌های مختلفی استفاده می‌شود. یکی از روش‌های محاسبه مساحت مثلث که برای انواع مثلث قابل کاربرد است، اندازه‌گیری مساحت مثلث با استفاده از قضیه هرون است. چنانچه اندازه سه ضلع یک مثلث مشخص باشد در این حالت با استفاده از قضیه هرون یا فرمول هرون می‌توان مساحت مثلث را به دست آورد. این قضیه برای اندازه‌گیری هر نوع مثلث از جمله مثلث متساوی‌الاضلاع، مثلث متساوی‌الساقین، مثلث قائم‌الزاویه و ... صدق می‌کند و با استفاده از فرمول مربوطه می‌توان مقدار مساحت مثلث‌های مختلف را اندازه‌گیری کرد. طبق قضیه هرون فرض می‌کنیم یک مثلثی داریم که اندازه اضلاع آن برابر با a،b و c هستند. محیط مثلث را p در نظر می‌گیریم. محیط مثلث برابر با مجموع اندازه سه ضلع مثلث است. چنانچه نصف محیط مثلث را اندازه‌گیری کنیم آن را s نام‌گذاری می‌کنیم. بنابراین طبق قضیه هرون، با داشتن اندازه سه ضلع مثلث و محاسبه نصف محیط آن، مساحت مثلث از طریق رادیکال حاصل‌ضرب s در (s-a) در (s-b) در (s-c) محاسبه می‌شود. قضیه هرون را از روش‌های مختلفی نیز می‌توان اثبات کرد. یکی از این روش‌ها، اثبات قضیه هرون با استفاده از محاسبه مساحت مثلث در حالتی است که دو ضلع مثلث و زاویه بین آن دو ضلع معلوم باشد. بنابراین در این روش فرض می‌کنیم مثلثی به نام ABC داریم که اندازه ضلع‌های آن برابر با a ،b و c است. اگر اندازه دو ضلع مثلث یعنی ضلع‌های a و b و زاویه بین این دو ضلع، یعنی زاویه C معلوم باشد، بنابراین در این حالت می‌توانیم مساحت مثلث را با حاصل‌ضرب یک دوم در a در b در سینوس زاویه بین این دو یعنی زاویه C به دست آوریم. از طریق قضیه کسینوس‌ها می‌توان اندازه کسینوس زاویه C را به دست آورد. طبق قضیه کسینوس‌ها، کسینوس زاویه C برابر است با a به توان دو به اضافه b به توان دو، منهای c به توان دو تقسیم بر 2ab. طبق قضیه فیثاغورس می‌توان اندازه سینوس زاویه C را به دست آورد. مطابق با قضیه فیثاغورس اندازه سینوس زاویه C برابر با رادیکال یک منهای کسینوس زاویه C به توان دو است. با جای‌گذاری سینوس زاویه C در معادله مربوط به مساحت مثلث، همچنین با جای‌گذاری مقدار p مربوط به محیط مثلث و تبدیل عبارات مربوطه به s و در نهایت ساده‌سازی نتایج به دست آمده، قضیه هرون اثبات می‌شود. با استفاده از قضیه هرون می‌توان مسائل مختلف در ریاضی را حل کرد و اندازه اضلاع مثلث و مساحت آن را به دست آورد. در این آموزش برای درک کامل مباحث و موارد مربوطه می‌خواهیم با همدیگر با قضیه هرون و نحوه اثبات آن آشنا شویم. بنابراین در ابتدا در خصوص روش‌های مختلف محاسبه مساحت مثلث، توضیحات لازم را ارائه می‌دهیم. سپس قضیه هرون و فرمول مربوطه و نحوه محاسبه مساحت مثلث از طریق این قضیه را توضیح می‌دهیم. به نحوه اثبات قضیه هرون از طریق قضیه کسینوس‌ها و همچنین قضیه فیثاغورس اشاره می‌کنیم. در نهایت با ذکر مثال کاربردی نحوه استفاده از قضیه هرون در محاسبه مساحت مثلث در مسائل مختلف را مورد بررسی و تحلیل قرار می‌دهیم.

فرادرس

ساره شفیعی