اثبات قضیه سینوس ها + مثال‌های کاربردی (فیلم آموزش رایگان)

به طور کلی روابطی که بین توابع مثلثاتی با اضلاع مثلث وجود دارد، را از طریق قضیه سینوس‌ها مطرح می‌کنند. این قضیه برای تمام انواع مثلث برقرار است. طبق این قضیه نسبت سینوس زاویه‌های داخلی هر مثلث، به اندازه اضلاع روبه‌رو به زاویه‌های داخلی مثلث برابر با مقداری ثابت است. یک مثلثی به نام ABC در نظر می‌گیریم که راس‌های آن شامل A ،B و C باشد. علاوه بر این ضلع روبه‌رو به زاویه A را a و ضلع روبه‌رو به زاویه B را b و ضلع روبه‌رو به زاویه C را c نام‌گذاری می‌کنیم. طبق قضیه سینوس‌ها می‌توانیم به این نتیجه برسیم که سینوس زاویه A تقسیم بر ضلع a برابر با سینوس زاویه B تقسیم بر ضلع b است. از طرفی این رابطه نیز با سینوس زاویه C تقسیم بر ضلع c نیز برابر است. از این قضیه و روابط برای حل مسائل مختلف و پیدا کردن زاویه‌های داخلی و اضلاع یک مثلث استفاده می‌شود. قضیه سینوس‌ها را نیز می‌توان اثبات کرد. برای اثبات این قضیه در مثلث ABC خطی را از راس C مثلث عمود بر ضلع مقابل آن یعنی ضلع c رسم می‌کنیم و این خط را h نام‌گذاری می‌کنیم. همچنین نقطه برخورد این خط با ضلع c را D در نظر می‌گیریم. خط h باعث می‌شود که مثلث ABC به دو مثلث قائم‌الزاویه ACD و CDB تقسیم شود. h ضلع مقابل به زاویه A و b وتر در مثلث ACD است. از طرف دیگر h ضلع مقابل به زاویه B و a وتر در مثلث BCD است. سینوس یک زاویه برابر است با ضلع مقابل به آن زاویه تقسیم بر وتر. بنابراین می‌توانیم سینوس زاویه B در مثلث CDB را برابر با h تقسیم بر a و سینوس زاویه A در مثلث ACD را برابر با h تقسیم بر b در نظر بگیریم. در نهایت با مساوی قرار دادن h‌های به‌دست آمده از هر دو رابطه می‌توانیم به این نتیجه برسیم که b ضرب در سینوس زاویه A برابر با a در سینوس زاویه B است. رابطه نهایی برابر با سینوس زاویه A تقسیم بر ضلع a مساوی با سینوس زاویه B تقسیم بر ضلع b به دست می‌آید. در مرحله بعد پاره‌خطی را از راس B عمود بر ضلع AC رسم می‌کنیم و دقیقا مشابه با فرایند قبل دو مثلث قائم‌الزاویه تشکیل شده را مورد بررسی قرار می‌دهیم. طبق روابط به‌دست‌آمده سینوس زاویه A تقسیم بر ضلع a مساوی با سینوس زاویه C تقسیم بر ضلع c به دست می‌آید که در نهایت با قرار دادن روابط در کنار هم قضیه سینوس‌ها ثابت می‌شود. در این آموزش برای درک کامل مباحث و موضوعات مربوطه می‌خواهیم با همدیگر با قضیه سینوس‌ها و نحوه اثبات آن آشنا شویم. بنابراین قضیه سینوس‌ها و روابط مثلثاتی در این زمینه را معرفی می‌کنیم. به نحوه اثبات قضیه سینوس‌ها اشاره می‌کنیم. در نهایت با ذکر مثال کاربردی در این زمینه نحوه استفاده از قضیه سینوس‌ها در محاسبات مربوط به زاویه‌های داخلی مثلث و اضلاع آن را مورد بررسی قرار می‌دهیم.

فرادرس

ساره شفیعی